5.7. Поверхні другого порядку

1

Властивості еліпсоїда.

1. Еліпсоїд - обмежена поверхня, оскільки з його рівняння слід, що

2. еліпсоїд володіє

   • центральну симетрію щодо початку координат,
   • осьової симетрією щодо координатних осей,
   • площинний симетрією щодо початку координат.

3. У перетині еліпсоїда площиною, перпендикулярної будь-який з координатних осей, виходить еліпс .

2

Поверхня, що задається в деякій прямокутній декартовій системі координат рівнянням a> 0, b> 0, називається еліптичним параболоїдом.

Властивості еліптичного параболоїда.

1. Еліптичний параболоїд - необмежена поверхню, оскільки з його рівняння слід, що z ≥ 0 і приймає як завгодно великі значення.

2. Еліптичний параболоїд володіє

   • осьової симетрією щодо осі Oz,
   • площинний симетрією щодо координатних осей Oxz і Oyz.

3. У перетині еліптичного параболоїда площиною, ортогональної осі Oz, виходить еліпс, а площинами, ортогональними осях Ox і Oy - парабола .

Поверхня, що задається в деякій прямокутній декартовій системі координат рівнянням a> 0, b> 0, називається гіперболічним параболоїдом.

3

Властивості гіперболічного параболоїда.

1. Гіперболічний параболоїд - необмежена поверхню, оскільки з його рівняння слід, що z - будь-яке число.

2. Гіперболічний параболоїд володіє

   • осьової симетрією щодо осі Oz,
   • площинний симетрією щодо координатних площин Oxz і Oyz.

3. У перетині гіперболічного параболоїда площиною, ортогональної осі координат Oz, виходить гіпербола , А площинами, ортогональними осях Ox і Oy, - парабола.

4. Гіперболічний параболоїд може бути отриманий поступальним переміщенням в просторі параболи так, що її вершина переміщається вздовж іншої параболи, вісь якої паралельна осі першої параболи, а гілки спрямовані протилежно, причому їх площині взаємно перпендикулярні.

Поверхня, що задається в деякій прямокутній декартовій системі координат рівнянням a> 0, b> 0, c> 0, називається однополостного гіперболоїдом.

4

Властивості однополостного гіперболоїда.

1. Однополостной гіперболоїд - необмежена поверхню, оскільки з його рівняння слід, що z - будь-яке число.

2. Однополостной гіперболоїд має

   • центральну симетрію щодо початку координат,
   • осьової симетрією щодо всіх координатних осей,
   • площинний симетрією щодо всіх координатних площин.

3. У перетині однополостного гіперболоїда площиною, перпендикулярній осі координат Oz, виходить еліпс, а площинами, ортогональними осях Ox і Oy - гіпербола.

Поверхня, що задається в деякій прямокутній декартовій системі координат рівнянням a> 0, b> 0, c> 0, називається двуполостной гіперболоїдом.

5

Властивості двуполостного гіперболоїда.

1. Двуполостной гіперболоїд - необмежена поверхню, оскільки з його рівняння слід, що і необмежений зверху.

2. Двуполостной гіперболоїд має

   • центральну симетрію щодо початку координат,
   • осьової симетрією щодо всіх координатних осей,
   • площинний симетрією щодо всіх координатних площин.

3. У перетині однополостного гіперболоїда площиною, перпендикулярній осі координат Oz, при виходить еліпс, при - точка, а в перетині площинами, перпендикулярними осями Ox і Oy, - гіпербола.

За аналогією з конічними перетинами існують і вироджені поверхні другого порядку. Так, рівнянням другого порядку x2 = 0 описується пара співпадаючих площин, рівнянням x2 = 1 - пара паралельних площин, рівнянням x2 - y2 = 0 - пара пересічних площин. Рівняння x2 + y2 + z2 = 0 описує точку з координатами (0; 0; 0), рівняння x2 + y2 = 1 - круговий циліндр, рівняння x2 + y2 = z2 - круговий конус. Існують і інші вироджені випадки. Повна теорія поверхонь другого порядку розглядається в курсі аналітичної геометрії.